4-5 Channel Coding and Error Control

字数 7,304｜阅读时间 15 分钟｜Ayaskt

2026/11/04 16:48:26 CST

誰だれに何なんと言いったって もう戻もどれないんだって

不管和别人说什么 也已经无法回头

「面倒めんどうだ」なんて 手放てばなしたことさえ

就连觉得好麻烦 而放手不管 也做不到

「猛独が襲う」

一二三

章节目录

• 章节目录
• 4-1 错误控制的动机 Motivations for Error Control
• 4-2 前向纠错 Forward Error Correction
• 4-3 自动重传请求 Automatic Repeat Request
• 4-4 混合 ARQ 与方案比较 Hybrid ARQ and Comparison
• 4-5 码率与冗余 Code Rate and Redundancy
• 4-6 奇偶校验与矩形码 Parity and Rectangular Codes
  • 4-6-1 奇偶校验码 Parity-Check Codes
  • 4-6-2 矩形码 Rectangular Code
• 4-7 编码增益 Coding Gain
• 4-8 线性分组码 Linear Block Codes
  • 4-8-1 线性性质与码字空间 Linearity and Codeword Space
  • 4-8-2 汉明重量与距离 Hamming Weight and Distance
• 4-9 生成矩阵与系统码 Generator Matrix and Systematic Codes
• 4-10 校验矩阵与伴随式 Parity-Check Matrix and Syndrome
  • 4-10-1 校验矩阵 Parity-Check Matrix
  • 4-10-2 伴随式计算 Syndrome Computation
• 4-11 标准阵列译码 Standard Array Decoding
• 4-12 例题 Worked Examples

4-1 错误控制的动机 Motivations for Error Control

严重传输问题在通信中很常见。陆地移动通信面临多径衰落（反射、绕射、散射）与低信噪比；卫星通信受限于下行方向的发射功率，卫星能源有限。

信道编码 Channel Coding

信道编码 Channel Coding 向信息比特加入受控冗余，使接收端能够检测甚至纠正传输错误，从而提高可靠性。

无编码时 个信息比特直接发送 个比特；编码后发送 个比特，。编码质量用误码率 BER 与误帧率 FER 衡量。

理想情况下，即使码字被噪声破坏，译码器也应能判断发送的是哪一个码字。错误控制至少包含检错，最好同时包含纠错；只检错时，收端只能请求重传。

4-2 前向纠错 Forward Error Correction

前向纠错 Forward Error Correction

前向纠错 Forward Error Correction, FEC 在发送端加入冗余，使接收端无需重传即可纠正部分错误。

主要的 FEC 类别：

• 线性分组码 Linear Block Codes；
• Reed-Solomon 码；
• 卷积码 Convolutional Codes；
• Turbo 码；
• LDPC 码；
• Polar 码。

FEC 适用于三类场景：重传会带来过大时延；没有反向链路；错误频繁到反复重传已不划算。

4-3 自动重传请求 Automatic Repeat Request

自动重传请求 Automatic Repeat Request

自动重传请求 Automatic Repeat Request, ARQ 由接收端检测错误并请求重传，发送端按确认结果决定是否重发。

接收正确时目的端回 ACK，检测到错误时回 NAK。帧出错或丢失都需要重传。

停止等待 ARQ 是最简单的形式：发送一个包后等待 ACK，再发下一个包。包出错或丢失时收端不回 ACK，发端超时后重发。设包传输时间为 、往返等待时间为 ，效率约为

ms、 ms 时 。

回退 N 帧 ARQ 让发送端在长度为 的窗口内连续发多个包，同时接收 ACK。收端发现错误或丢包时对特定包回 NAK，并丢弃其后所有包；发端从出错包开始重传。收端不接受乱序到达的包。

选择重传 ARQ 让收端用缓冲区暂存所有已收到的包。发现错误时只请求重传出错的那个包，收齐后再按顺序重排。它的重传次数最少，代价是更高的缓存需求与实现复杂度。

ARQ 的实现比 FEC 简单，但在以下情况下不适用：没有反向信道，或 ARQ 的时延过大；重传策略不便实现；无纠错时的预期错误数过多，导致重传开销不可接受。

4-4 混合 ARQ 与方案比较 Hybrid ARQ and Comparison

项目	FEC	ARQ
冗余用途	纠错	检错
可纠正错误时	无需重传	仍需重传
时延	低	重传带来时延
反向信道	不需要	需要
译码复杂度	较高	较低

混合 ARQ Hybrid ARQ

混合 ARQ Hybrid ARQ 把 FEC 与重传结合：先发送 FEC 编码包，译码失败时再请求重传，并把多次传输的信息合并使用。

HARQ 保留了 FEC 的低时延，又用重传兜住译码失败的情况，现代蜂窝系统普遍采用。

4-5 码率与冗余 Code Rate and Redundancy

分组编码把每个 比特的数据块变换为 比特的码块。多出的 个比特称为冗余比特、校验比特或监督比特，不携带新信息。

码率 Code Rate

码率 Code Rate 是数据比特占码块总比特的比例：

冗余度定义为冗余比特与数据比特之比：

(15,11) 码中 、，码率 ，冗余度 。

4-6 奇偶校验与矩形码 Parity and Rectangular Codes

4-6-1 奇偶校验码 Parity-Check Codes

奇偶校验码 Parity-Check Code

奇偶校验码 Parity-Check Code 在数据块后附加一个校验位，使整个码字中 1 的个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。

接收端对码字做模 2 求和，与已知校验比较。它能检出全部奇数个错误，偶数个错误则可能漏检；即使检出，也无法指出错在哪一位，校验位本身也可能出错。按最小距离计，保证检错能力为 1 位，且没有纠错能力。

例如发送 （偶校验，1 的个数为 4）。若收到 ，1 的个数变为 3，校验由偶变奇，错误被检出；若收到 ，1 的个数仍为 4，两位错误漏检。

设比特错误相互独立、概率为 ， 比特中 个错误位置的组合数为

出现 个错误的概率为

漏检概率是所有偶数个错误的概率之和：

PROBLEM L4-5-E1

(4,3) 奇偶校验码，。求恰好出现 2 个错误的概率与漏检概率。

SOLUTION

位置数为

2 个错误的概率：

漏检概率：

---

4-6-2 矩形码 Rectangular Code

矩形码 Rectangular Code

矩形码 Rectangular Code 把信息比特排成矩形阵列，为每一行和每一列各加一个奇偶校验位，行、列同时校验。

PROBLEM L4-5-E2

接收码字排成 阵列（偶校验）：

找出并纠正其中的错误。

SOLUTION

逐行求和：第 1 行 3 个 1，校验失败；第 2、3 行均为偶数个 1，校验通过。

逐列求和：第 3 列 3 个 1，校验失败；第 1、2、4 列通过。

失败的行与列交叉于第 1 行第 3 列，该位由 1 改为 0：

行列各只有一处失败时，矩形码可以定位并纠正单个错误；失败处多于一处时无法纠正。

4-7 编码增益 Coding Gain

图中虚线为编码后的误码率曲线，实线为未编码曲线。低 段编码反而更差，因为每个码比特分到的能量下降；越过交点后编码曲线下降更陡，最终在相同 BER 下所需 更低。两点之间的水平差值就是编码增益。

PROBLEM L4-5-E3

系统 dB（即 9.12），未编码误比特率 。采用 (15,11) 码纠正每块 1 位错误。求带宽扩展、码比特的信噪比与编码后的块错误概率。

SOLUTION

带宽扩展为

即增加 36%。码比特与信息比特的能量关系为

换成 dB：

编码后单个码比特的错误概率：

一块 15 比特中出现 2 个及以上错误时无法纠正，块错误概率近似为

对照未编码情形，11 比特块至少 1 位错误的概率：

块错误概率从 降到 ，约 60 倍改善，代价是 36% 的带宽扩展。

NOTE

按 函数精确计算，，块错误概率约 ；课件取 与 ，两者相差来自 表取舍，结论一致。

4-8 线性分组码 Linear Block Codes

4-8-1 线性性质与码字空间 Linearity and Codeword Space

线性分组码 Linear Block Code

线性分组码 Linear Block Code 是满足线性性质的 分组码： 个信息向量被映射为 比特码字，且任意两个码字的模 2 和仍是码字。

比特共有 个可能向量，线性分组码从中选出 个作为合法码字。

模 2 加法与乘法的结果如下：

运算	结果

全部二元 元组构成二元域上的向量空间。若子集 包含全零向量，且任意两个向量的和仍在 内，则 是子空间。码字 与 的模 2 和也是码字，这样的码就是线性的。

以 (6,3) 码为例， 个信息向量对应 8 个码字：

信息向量	码字
000	000000
100	110100
010	011010
110	101110
001	101001
101	011101
011	110011
111	000111

---

4-8-2 汉明重量与距离 Hamming Weight and Distance

汉明重量 Hamming Weight

汉明重量 Hamming Weight 是二元向量中非零元素的个数。

含 5 个 1，故 。

汉明距离 Hamming Distance

汉明距离 Hamming Distance 是两个向量对应位置取值不同的位数，等于二者之和的汉明重量：

、 时 。

最小距离 Minimum Distance

最小距离 Minimum Distance 是码集中任意两个码字距离的最小值：

合法码字越接近，少量错误就可能把接收向量变成另一个合法码字；码字间距越大，可容忍的错误越多。纠错能力 与检错能力 由最小距离决定：

TIP

这里的 表示检错能力，4-11 中的 表示错误图样，两者不是同一个量。

PROBLEM L4-5-E4

线性分组码的最小距离为 5。求最大检错能力与最大纠错能力。

SOLUTION

4-9 生成矩阵与系统码 Generator Matrix and Systematic Codes

生成矩阵 Generator Matrix

生成矩阵 Generator Matrix 是以 个基码字为行的 矩阵，任何码字都是这些基码字的线性组合：

为 信息向量， 为 ，乘积 为 。 较大时查表编码不可行，改用矩阵乘法。

以 (6,3) 码为例：

信息向量 时

系统码 Systematic Code

系统码 Systematic Code 把 个信息比特原样保留在码字中，其余 位为校验位。

时系统码的格式为 。对应的生成矩阵由校验块与单位矩阵拼接：

其中 为 矩阵， 为 阶单位阵。校验位由信息比特线性组合得到：

4-10 校验矩阵与伴随式 Parity-Check Matrix and Syndrome

4-10-1 校验矩阵 Parity-Check Matrix

校验矩阵 Parity-Check Matrix

校验矩阵 Parity-Check Matrix 是 矩阵，其行与 的行正交，用于检验接收向量是否为合法码字：

是 生成的码字，当且仅当 。校验矩阵有两项性质：任何一列都不能全为零，否则该位的错误不影响伴随式、无法检出；所有列必须互不相同，否则两列对应位置的错误无法区分。

PROBLEM L4-5-E5

某线性分组码的码字定义为 。写出生成矩阵与校验矩阵。

SOLUTION

分别令 为 、、，得到三个基码字，作为 的三行：

这是 码，，故 为 ：

---

4-10-2 伴随式计算 Syndrome Computation

伴随式 Syndrome

伴随式 Syndrome 是接收向量与校验矩阵的乘积：

表示 是合法码字。代入 得

伴随式只与错误图样有关，与发送的码字无关。这正是译码可以只靠伴随式查表的原因。

4-11 标准阵列译码 Standard Array Decoding

标准阵列 Standard Array

标准阵列 Standard Array 把 个可能接收向量排成表，每一行是一个陪集 Coset，第一列的向量称为陪集首 Coset Leader。

陪集首取错误图样，取法是从重量最小、尚未出现过的向量依次选取。同一陪集中所有向量的伴随式相同：

因此只要每个陪集的伴随式互不相同，就能由伴随式唯一确定错误图样。若真实错误不是陪集首，译码会给出错误结果。

(6,3) 码的标准阵列：

陪集首
000000	110100	011010	101110	101001	011101	110011	000111
000001	110101	011011	101111	101000	011100	110010	000110
000010	110110	011000	101100	101011	011111	110001	000101
000100	110000	011110	101010	101101	011001	110111	000011
001000	111100	010010	100110	100001	010101	111011	001111
010000	100100	001010	111110	111001	001101	100011	010111
100000	010100	111010	001110	001001	111101	010011	100111
010001	100101	001011	111111	111000	001100	100010	010110

对每个陪集首计算 ，得到伴随式查找表：

错误图样	伴随式
000000	000
000001	101
000010	011
000100	110
001000	001
010000	010
100000	100
010001	111

错误图样 Error Pattern

错误图样 Error Pattern 是与发送码字逐位模 2 相加得到接收向量的向量，，其非零位置即错误位置。

译码步骤：

1. 计算伴随式 ；
2. 在查找表中找到伴随式相同的陪集首 ；
3. 把 当作信道引入的错误；
4. 输出 。

PROBLEM L4-5-E6

(6,3) 码发送 ，收到 。用上面的查找表纠正错误。

SOLUTION

只在第 3、4、5 位为 1，伴随式等于 第 3、4、5 列之和：

查表得错误图样 ，纠正后的码字为

与发送码字一致。

4-12 例题 Worked Examples

PROBLEM L4-5-E7

(6,3) 码的生成矩阵为

1. 信息向量 对应的码字；
2. 该码的校验矩阵 ；
3. 判断 是否为合法码字。

SOLUTION

1. 。

2. 已是系统形式 ， 为前三列，故 ：

3. 计算伴随式， 在第 1、2、4、5 位为 1，对应列之和：

， 不是合法码字。查表得 ，纠正后 。

PROBLEM L4-5-E8

(7,4) 码的校验矩阵

收到 。已知伴随式 对应错误图样 ，求发送码字。

SOLUTION

在第 1、3、4、6、7 位为 1，对应列之和：

，错误图样 。

验证：，确为合法码字。